Cómo afecta la desviación estándar de la población al error estándar

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Por Deborah J. Rumsey

En estadística, la desviación estándar en una población afecta el error estándar para esa población. La desviación estándar mide la cantidad de variación en una población. En la fórmula de error estándar

se ve la desviación estándar de la población,

está en el numerador. Esto significa que a medida que aumenta la desviación estándar de la población, también aumenta el error estándar de la muestra. Matemáticamente esto tiene sentido; ¿qué tal estadísticamente?

Distribución de las longitudes de los peces a) en el estanque #1; b) en el estanque #2Suponga que

tiene dos estanques llenos de peces (llámelos estanque #1 y estanque #2), y está interesado en la longitud de los peces en cada estanque. Supongamos que las longitudes de los peces en cada estanque tienen una distribución normal. Se le ha dicho que las longitudes de los peces en el estanque #1 tienen una media de 20 pulgadas y una desviación estándar de 2 pulgadas (ver Figura (a), arriba). Supongamos que los peces en el estanque #2 también tienen un promedio de 20 pulgadas pero tienen una desviación estándar más grande de 5 pulgadas (ver Figura (b)).

Comparando las Figuras (a) y (b), se puede ver que las tallas de las dos poblaciones de peces tienen la misma forma y media, pero la distribución en la Figura (b) (para el estanque #2) tiene más dispersión, o variabilidad, que la distribución mostrada en la Figura (a) (para el estanque #1). Esta dispersión confirma que los peces en el estanque #2 varían más en longitud que los del estanque #1.

Ahora supongamos que usted toma una muestra al azar de 100 peces del estanque #1, encuentra la longitud media de los peces y repite este proceso una y otra vez. Entonces haga lo mismo con el estanque #2. Debido a que las longitudes de los peces individuales en el estanque #2 tienen más variabilidad que las longitudes de los peces individuales en el estanque #1, usted sabe que las longitudes promedio de las muestras del estanque #2 tendrán más variabilidad que las longitudes promedio de las muestras del estanque #1 también. (De hecho, puede calcular sus errores estándar utilizando la fórmula anterior para que sean 0,20 y 0,50, respectivamente.)

Estimar el promedio de la población es más difícil cuando la población varía mucho para empezar – estimar el promedio de la población es mucho más fácil cuando los valores de la población son más consistentes. La conclusión es que el error estándar de la media de la muestra es mayor cuando la desviación estándar de la población es mayor.

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