Cómo analizar la convergencia absoluta y condicional

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Muchas series divergentes de términos positivos convergen si se cambian los signos de sus términos para que alternen entre positivos y negativos. Por ejemplo, usted sabe que las series armónicas divergen:

Pero, si cambias cualquier otro signo a negativo, obtienes la serie armónica alterna, que converge:

Por cierto, esta serie converge en ln 2, lo que equivale a 0,6931.

Se dice que una serie alterna es condicionalmente convergente si es convergente tal como es, pero se volvería divergente si todos sus términos fueran positivos. Se dice que una serie alterna es absolutamente convergente si fuera convergente incluso si todos sus términos fueran positivos. Y cualquiera de estas series absolutamente convergentes también es automáticamente convergente tal como es.

Aquí hay un ejemplo. Determinar la convergencia o divergencia de las siguientes series alternas:

Si todos estos términos fueran positivos, tendrías la serie geométrica familiar,

que, por la regla de las series geométricas, converge a 2. Debido a que la serie positiva converge, la serie alterna también debe converger y usted dice que la serie alterna es absolutamente convergente.

El hecho de que la convergencia absoluta implique una convergencia ordinaria no es más que sentido común, si se piensa en ello. La serie geométrica anterior de términos positivos converge a 2. Si hicieras todos los términos negativos, se sumaría a -2, ¿verdad? Por lo tanto, si algunos de los términos son positivos y otros negativos, la serie debe converger a algo entre -2 y 2.

¿Notó que la serie alterna anterior es una serie geométrica como lo es con

(Recordemos que la fórmula para la suma de una serie geométrica funciona siempre que r esté entre -1 y 1; por lo tanto, funciona tanto para series alternas como para series positivas.) La fórmula da su suma:

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