Cómo analizar la longitud del arco

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Puede sumar longitudes de minutos a lo largo de una curva, un arco, para obtener la longitud completa. Cuando se analiza la longitud del arco, se divide una longitud de curva en secciones pequeñas, se calcula la longitud de cada sección y luego se suman todas las longitudes. La siguiente figura muestra cómo cada sección de una curva puede ser aproximada por la hipotenusa de un pequeño triángulo rectángulo.

El Teorema de Pitágoras es la clave para la fórmula de la longitud del arco.

Puedes imaginarte que a medida que acercas el zoom más y más, dividiendo la curva en más y más secciones, las secciones diminutas se enderezan cada vez más y las hipotenusas se aproximan cada vez más a la curva. Por eso, cuando este proceso de sumar secciones cada vez más pequeñas se lleva al límite, se obtiene la longitud exacta de la curva.

Por lo tanto, todo lo que tienes que hacer es sumar todos los hipotenios a lo largo de la curva entre el punto de partida y el de llegada. Las longitudes de las patas de cada triángulo infinitesimal son dx y dy, y por lo tanto la longitud de la hipotenusa – dada por el Teorema de Pitágoras – es

Para sumar todos los hipotenios de a a a b a lo largo de la curva, sólo tienes que integrar:

Un pequeño ajuste y tendrás la fórmula para la longitud del arco.

La longitud del arco a lo largo de una curva, y=f(x), de a a a b, viene dada por la siguiente integral:

La expresión dentro de esta integral es simplemente la longitud de una hipotenusa representativa.

Prueba este: ¿Cuál es la longitud a lo largo de

de x = 1 a x = 5?

  1. Tome la derivada de su función.
  2. Enchufa esto en la fórmula e inténtalo (¿Ves cómo funciona?) Es la técnica de integración de adivinar y comprobar con la regla de potencia inversa. El 4/9 es la cantidad de ajuste que necesita debido al coeficiente 9/4.)

Ahora, si alguna vez te encuentras en una carretera con la forma de

y tu cuentakilómetros está roto, puedes calcular la longitud exacta de tu disco. Sus amigos quedarán muy impresionados – o muy preocupados.

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