Cómo analizar la posición, la velocidad y la aceleración con diferenciación

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Cada vez que subes a tu auto, eres testigo de la diferenciación de primera mano. Su velocidad es la primera derivada de su posición. Y cuando usted pisa el acelerador o el freno – acelerando o desacelerando – usted experimenta una segunda derivada.

Si una función da la posición de algo en función del tiempo, la primera derivativa da su velocidad, y la segunda da su aceleración. Así, se diferencia la posición para obtener la velocidad, y se diferencia la velocidad para obtener la aceleración.

Aquí hay un ejemplo. Un yoyó se mueve hacia arriba y hacia abajo. Su altura sobre el suelo, en función del tiempo, viene dada por la función

donde t es en segundos y H(t) es en pulgadas. A t = 0, está a 30 pulgadas sobre el suelo, y después de 4 segundos, está a una altura de 18 pulgadas.

La altura del yoyó, de 0 a 4 segundos.

La velocidad,V(t) es la derivada de la posición (altura, en este problema), y la aceleración, A(t), es la derivada de la velocidad. Así

Los gráficos de altura, velocidad y aceleración del yoyó funcionan de 0 a 4 segundos.

Velocidad contra velocidad. Tus amigos no se quejarán – ni siquiera se darán cuenta – si usas las palabras «velocidad» y «velocidad» indistintamente, pero tu amigo matemático se quejará. Aquí está la diferencia.

Para la función de velocidad de la figura anterior, elmovimiento ascendente se define como una velocidad positiva y la velocidad descendente se define como una velocidad negativa – esta es la forma estándar en que se trata la velocidad en la mayoría de los problemas físicos y de cálculo. (Si el movimiento es horizontal, ir a la derecha es una velocidad positiva y ir a la izquierda es una velocidad negativa.)

La velocidad, por otro lado, es siempre positiva (o cero). Si un auto pasa a 50 mph, por ejemplo, usted dice que su velocidad es 50, y usted quiere decir 50 positivo, sin importar si va a la derecha o a la izquierda. Para la velocidad, la dirección importa; para la velocidad, no. En la vida cotidiana, la velocidad es una idea más simple que la velocidad porque concuerda con el sentido común. Pero en el cálculo, la velocidad es en realidad la idea más complicada porque no encaja bien en el esquema de tres funciones que se muestra en la figura anterior.

Hay que tener en cuenta la distinción velocidad-velocidad al analizar la velocidad y la aceleración. Por ejemplo, si un objeto está bajando (o hacia la izquierda) cada vez más rápido, su velocidad está aumentando, pero su velocidad está disminuyendo porque su velocidad se está convirtiendo en un negativo mayor (y los negativos mayores son números menores). Esto parece raro, pero así es como funciona. Y he aquí otra cosa extraña: la aceleración se define como la tasa de cambio de velocidad, no de velocidad. Por lo tanto, si un objeto se está ralentizando mientras va en la dirección descendente, y por lo tanto tiene una velocidad creciente – porque la velocidad se está convirtiendo en un negativo más pequeño – el objeto tiene una aceleración positiva. En el inglés cotidiano, se diría que el objeto se está desacelerando, pero en la clase de cálculo, se dice que el objeto tiene una velocidad negativa y una aceleración positiva. (Por cierto, «desaceleración» no es exactamente un término técnico, así que probablemente debería evitarlo en la clase de cálculo. Es mejor usar el siguiente vocabulario: «aceleración positiva»,»aceleración negativa»,»aceleración» y»desaceleración».

La alturamáxima y mínima de H(t) ocurre en el extremo local que se ve en la figura anterior. Para localizarlos, establece la derivada de H(t) – es decir, V(t) – igual a cero y resuelve.

Estos dos números son los ceros de V(t) y las coordenadas t -es decir, coordenadas de tiempo- de los máximos y mínimos de H(t), que se pueden ver en la segunda figura.

En otras palabras, son los momentos en los que el yoyó alcanza su máxima y mínima altura. Conecte estos números en H(t) para obtener las alturas:

H (0.47) ≈ 31.1

H (3.53) ≈ 16.9

Así, el yoyó alcanza una altura de hasta 31,1 pulgadas por encima del suelo en ≈ 0,47 segundos y una altura de hasta 16,9 pulgadas en ≈ 3,53 segundos.

El desplazamiento total se define como la posición final menos la posición inicial. Así que, como el yoyó empieza a una altura de 30 y termina a una altura de 18,

Desplazamiento total = 18 – 30 = -12.

Esto es negativo porque el movimiento neto es descendente.

La velocidad mediaviene dada por el desplazamiento total dividido por el tiempo transcurrido. Así,

Esta respuesta negativa te dice que el yoyó, en promedio, está bajando 3 pulgadas por segundo.

Lavelocidad máxima y mínima del yoyó durante el intervalo de 0 a 4 segundos se determinan con la derivada de V(t): Poner la derivada de V(t) – es decir A(t) – igual a cero y resolver:

Ahora, evalúe V(t) en el número crítico, 2, y en los puntos finales del intervalo, 0 y 4:

Así, el yoyó tiene una velocidad máxima de 5 pulgadas por segundo dos veces, tanto al principio como al final del intervalo. Alcanza una velocidad mínima de -7 pulgadas por segundo a t = 2 segundos.

La distancia total recorridase determina sumando las distancias recorridas en cada una de las etapas del viaje del yoyó: la etapa de subida, la etapa de bajada y la segunda etapa de subida.

Primero, el yoyó sube de una altura de 30 a 31,1 pulgadas (donde se encuentra el primer punto de giro). Esa es una distancia de aproximadamente 1.1 pulgadas. A continuación, baja de aproximadamente 31,1 a aproximadamente 16,9 (la altura del segundo punto de inflexión). Esa es una distancia de 31.1 menos 16.9, o cerca de 14.2 pulgadas. Finalmente, el yoyó sube de nuevo de unas 16,9 pulgadas a su altura final de 18 pulgadas. Eso son otras 1.1 pulgadas. Sume estas tres distancias para obtener la distancia total recorrida: ~1.1 + ~14.2 + ~1.1 ≈ 16.4 pulgadas.

La velocidad mediaviene dada por la distancia total recorrida dividida por el tiempo transcurrido. Así,

Velocidad máxima y mínima. Anteriormente se ha determinado la velocidad máxima del yoyó (5 pulgadas por segundo) y su velocidad mínima (-7 pulgadas por segundo). Una velocidad de -7 es una velocidad de 7, así que esa es la velocidad máxima del yoyó.Su velocidad mínima de cero se produce en los dos puntos de giro.

Para una función de velocidad continua, la velocidad mínima es cero cuando las velocidades máxima y mínima son de signos opuestos o cuando una de ellas es cero. Cuando las velocidades máxima y mínima son ambas positivas o negativas, entonces la velocidad mínima es el menor de los valores absolutos de las velocidades máxima y mínima. En todos los casos, la velocidad máxima es la mayor delos valores absolutos de las velocidades máxima y mínima. ¿Es eso un bocado o qué?

La aceleración máxima y mínima puede parecer inútil cuando sólo se puede mirar el gráfico de A(t) y ver que la aceleración mínima de -12 ocurre en el extremo izquierdo cuando t = 0 y que la aceleración entonces sube hasta su máximo de 12 en el extremo derecho cuando t = 4. Pero no es inconcebible que consigas a uno de esos profesores de cálculo increíblemente exigentes que tiene el valor de exigir que realmente hagas las cuentas y muestres tu trabajo – así que muerde la bala y hazlo.

Para encontrar las aceleraciones mínima y máxima de t = 0 a t = 4, ajustar la derivada de A(t) igual a cero y resolver:

Esta ecuación, por supuesto, no tiene soluciones, así que no hay números críticos y por lo tanto la extrema absoluta debe ocurrir en los puntos finales del intervalo, 0 y 4.

Llegas a las respuestas que ya sabías.

Tenga en cuenta que cuando la aceleración es negativa – en el intervalo[0, 2) – significa que la velocidad está disminuyendo. Cuando la aceleración es positiva – en el intervalo (2, 4] – la velocidad aumenta.

Acelerar y reducir la velocidad. Averiguar cuando el yoyó se está acelerando y ralentizando es probablemente más interesante y descriptivo de su movimiento que la información anterior. Un objeto se está acelerando (lo que llamamos «aceleración» en el habla cotidiana) cuando la velocidad y la aceleración de cálculo son positivas o negativas. Y un objeto se está ralentizando (lo que llamamos «desaceleración») cuando la velocidad y la aceleración de cálculo son de signos opuestos.

Observe de nuevo los tres gráficos de la figura anterior. De t = 0 a aproximadamente t = 0,47 (cuando la velocidad es cero), la velocidad es positiva y la aceleración negativa, por lo que el yoyó está ralentizando la ciudad (hasta que alcanza su altura máxima). Cuando t = 0, la deceleración es mayor (12 pulgadas por segundo por segundo; el gráfico muestra una aceleración de 12 negativo, pero aquí la llamamos deceleración, por lo que el 12 es positivo). De t = 0,47 a t = 2, tanto la velocidad como la aceleración son negativas, por lo que el yoyó vuelve a ralentizarse (hasta que toque fondo a la altura más baja). Por último, de t = 3,53 a t = 4, tanto la velocidad como la aceleración son positivas, por lo que el yoyó se está acelerando de nuevo. El yoyó alcanza su máxima aceleración de 12 pulgadas por segundo por segundo a t = 4 segundos.

Atándolo todo. Observe las siguientes conexiones entre los tres gráficos de la figura anterior. La sección negativa del gráfico de A(t) -de t = 0 a t = 2- corresponde a una sección decreciente del gráfico de V(t) y a una sección cóncava hacia abajo del gráfico H(t). El intervalo positivo del gráfico de A(t)-de t = 2 a t = 4- corresponde a un intervalo creciente en el gráfico de V(t) y a un intervalo ascendente cóncavo en el gráfico H(t). Cuando t = 2 segundos, A(t) tiene un cero, V(t) tiene un mínimo local y H(t) tiene un punto de inflexión.

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