Cómo analizar los argumentos con los diagramas de Euler

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Por Mary Jane Sterling

En un examen de matemáticas finito, se le puede pedir que analice un argumento con un enfoque visual utilizando un diagrama de Euler. Esta técnica pictórica se utiliza para comprobar si un argumento es válido.

Un argumento puede ser clasificado como válido o inválido. Un argumento válido ocurre en situaciones donde si las premisas son ciertas, entonces la conclusión también debe ser cierta. Y un argumento puede ser válido incluso si la conclusión es falsa.

El argumento siguiente tiene dos premisas: (1) «Todos los perros tienen pulgas.» (2) «Hank es un perro.» La conclusión es que, por lo tanto, Hank tiene pulgas.

Estos argumentos suelen tener el siguiente formato, con las premisas enumeradas en primer lugar y la conclusión bajo una línea horizontal:

Usando un diagrama de Euler para analizar este argumento, dibuje un círculo para contener todos los objetos que tengan pulgas. Dentro del círculo, ponga otro círculo para contener a todos los perros. Y dentro del círculo de perros, pongan a Hank. La figura ilustra este enfoque.

El argumento no es necesariamente cierto, porque sabes que no todos los perros tienen pulgas. Todo esto demuestra que el argumento es válido. Si las dos premisas son ciertas, entonces la conclusión debe ser cierta.

Ahora considera un argumento que involucre rectángulos y triángulos. Un polígono es una figura formada por segmentos de línea conectados en sus extremos.

Al analizar la validez de este argumento, el diagrama de Euler comienza con un círculo que contiene todos los polígonos, como se muestra aquí.

Dos círculos se dibujan dentro del círculo más grande, uno que contiene rectángulos y los otros triángulos. Los dos círculos no se superponen, porque los rectángulos tienen cuatro lados, y los triángulos tienen tres lados.

El argumento no es válido. Los rectángulos no son triángulos, ni siquiera a veces.

Los argumentos pueden tener más de dos premisas. Por ejemplo:

Un diagrama de Euler que puede representar esta situación tiene tres círculos que se cruzan, como se muestra aquí.

Como se puede ver en el diagrama, puede haber presidentes nacidos en Kentucky que no eran abogados en Illinois y puede haber presidentes que fueron abogados en Illinois pero no nacidos en Kentucky. El argumento no es válido. Para ser válido, debe ser siempre cierto.

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