Cómo aproximar el área con la regla del trapecio

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Con la regla trapezoidal, en lugar de aproximar el área usando rectángulos (como lo haces con los métodos de rectángulo de punto medio, derecho e izquierdo), aproximas el área con – ¿puedes adivinar? – trapecios.

Debido a la forma en que los trapecios se adhieren a la curva, le dan un estimado de área mucho mejor que los rectángulos izquierdos o rectángulos rectos. Y resulta que una aproximación trapezoidal es el promedio de las aproximaciones de los rectángulos izquierdo y derecho. ¿Puedes ver por qué? (Sugerencia: El área de cada trapecio es el promedio de las áreas de los dos rectángulos correspondientes en las sumas de los rectángulos izquierdo y derecho.

La siguiente figura muestra tres trapecios dibujados bajo la función x2 + 1.

Desde el punto de vista de esta figura, se puede esperar que una aproximación trapezoidal sea mejor que una estimación de un rectángulo de punto medio, pero de hecho, como regla general, las sumas de punto medio son aproximadamente el doble de buenas que las estimaciones de un trapecio.

Si ya has calculado las aproximaciones de los rectángulos izquierdo y derecho para una función en particular y un cierto número de rectángulos, puedes promediarlos para obtener la estimación correspondiente del trapecio (para este problema, sabes que la respuesta que vas a obtener es (8 + 17)/2 = 12.5). Si no, aquí está la fórmula:

La regla del trapecio:

Para la función en la figura de arriba con tres trapecios, aquí está el cálculo:

Aunque la definición formal de la integral definitiva se basa en la suma de un número infinito de rectángulos, tal vez quieras pensar en la integración como el límite de la regla trapezoidal en el infinito. Cuanto más se acerca una curva, más recta se vuelve. Cuando se utiliza un número cada vez mayor de trapecios y luego se amplía el punto en el que los trapecios tocan la curva, las partes superiores de los trapecios se acercan cada vez más a la curva. Si se amplía «infinitamente», la parte superior de los trapecios «infinitamente muchos» se convierte en la curva y, por lo tanto, la suma de sus áreas le da el área exacta debajo de la curva. Esta es una buena manera de pensar por qué la integración produce el área exacta – y tiene sentido conceptualmente – pero en realidad no se hace de esta manera.

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