Cómo aproximar el área con las sumas correctas

  1. Educación
  2. Matemáticas
  3. Cálculo
  4. Cómo aproximar el área con las sumas correctas

Puede aproximar el área bajo una curva usando sumas correctas. Este método funciona igual que el método de la suma izquierda, excepto que cada rectángulo se dibuja de manera que su esquina superior derecha toque la curva en lugar de su esquina superior izquierda.

Por ejemplo, calcule el área bajo

de 0 a 3 utilizando rectángulos rectangulares, como se muestra en esta figura.

Las alturas de los tres rectángulos vienen dadas por los valores de las funciones en sus bordes derechos: f(1) = 2, f(2) = 5, y f(3) = 10. Cada rectángulo tiene un ancho de 1, por lo que las áreas son 2, 5 y 10, que suman un total de 17. Esta aproximación le da una sobreestimación del área real bajo la curva.

Cuantos más rectángulos cree entre 0 y 3, más precisa será su estimación. Aquí está la Regla del Rectángulo Rectangular: Puedes aproximar el área exacta bajo una curva entre a y b,

con una suma de rectángulos rectos dada por esta fórmula:

Donde, n es el número de rectángulos,

es el ancho de cada rectángulo, y los valores de las funciones son las alturas de los rectángulos.

Ahora, si comparamos esta fórmula con la de la suma de un rectángulo a la izquierda, obtenemos la imagen completa de esos subíndices. Las dos fórmulas son las mismas excepto por una cosa. Observe las sumas de los valores de las funciones en ambas fórmulas. La fórmula de la suma correcta tiene un valor,

que la fórmula de suma izquierda no tiene, y la fórmula de suma izquierda tiene un valor,

que la fórmula de la suma correcta no tiene. Todos los valores de función entre ambos aparecen en ambas fórmulas. Usted puede obtener un mejor manejo de esto comparando los tres rectángulos izquierdos de la figura de abajo con los tres rectángulos rectos de la figura de arriba.

Para la suma de la izquierda, puede encontrar las áreas y los totales utilizando la siguiente fórmula:

Así que, tres rectángulos izquierdos se suman: 1 + 2 + 5 = 8

Para la suma correcta, puede utilizar la siguiente fórmula:

Así que, tres rectángulos rectangulares suman: 2 + 5 + 10 = 17

Las sumas de las áreas son las mismas, excepto en el rectángulo más a la izquierda y el rectángulo más a la derecha. Ambas sumas incluyen los rectángulos con las áreas 2 y 5. Si miras cómo se construyen los rectángulos, puedes ver que el segundo y tercer rectángulo de la segunda figura son los mismos que el primero y el segundo rectángulo de la primera figura.

Una última cosa sobre esto. La diferencia entre el área total del rectángulo derecho (17) y el área total del rectángulo izquierdo (8) – es decir, 17 menos 8, o 9, en caso de que te guste el cálculo pero aún no tengas la cosa básica de la resta – proviene de la diferencia entre las áreas de los dos rectángulos «finales» que acabamos de discutir (10 menos 1 es también 9). Todos los otros rectángulos son un lavado, no importa cuántos rectángulos tengas.

Leave a Reply