Cómo aproximar el área con las sumas que quedan

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Puede aproximar el área bajo una curva usando sumas a la izquierda. Por ejemplo, digamos que usted quiere el área exacta bajo una curva entre dos puntos, 0 y 3. El área sombreada en el gráfico de la izquierda de la siguiente figura muestra el área que desea encontrar.

Primero, se obtiene una estimación aproximada del área dibujando tres rectángulos debajo de la curva, como se muestra en el gráfico de la derecha de la figura, y luego determinando la suma de sus áreas.

Los rectángulos de la figura representan la llamada suma izquierda porque la esquina superior izquierda de cada rectángulo toca la curva. Cada rectángulo tiene un ancho de 1 y la altura de cada uno viene dada por la altura de la función en el borde izquierdo del rectángulo. Entonces, el rectángulo número 1 tiene una altura de

su superficie (longitud x anchura o altura x anchura) es pues de 1 x 1, o 1. El rectángulo 2 tiene una altura de

así que su área es 2 x 1, o 2. Y el rectángulo 3 tiene una altura de

así que su área es 5 x 1, o 5. Sumando estas tres áreas se obtiene un total de 1 + 2 + 5, u 8. Puede ver que esto es una subestimación del área total bajo la curva debido a las tres brechas entre los rectángulos y la curva mostrada en la figura anterior.

Para una mejor estimación, duplique el número de rectángulos a seis. La siguiente figura muestra seis rectángulos «izquierdos» debajo de la curva y también cómo los seis rectángulos comienzan a llenar los tres huecos que se ven en la primera figura.

Vea los tres pequeños rectángulos sombreados en el gráfico de la derecha en la segunda figura? Se sientan encima de los tres rectángulos de la primera figura, y representan cuánto ha mejorado la estimación del área usando seis rectángulos en lugar de tres.

Ahora suma las áreas de los seis rectángulos. Cada uno tiene un ancho de 0.5 y las alturas son f(0), f(0.5), f(1), f(1.5), y así sucesivamente. Aquí está el total: 0.5 + 0.625 + 1 + 1.625 + 2.5 + 3.625 = 9.875. Esta es una estimación mejor, pero sigue siendo una subestimación debido a las seis pequeñas brechas que se pueden ver en el gráfico de la izquierda en la figura anterior.

Aquí está la fórmula de los pantalones elegantes para una suma del rectángulo izquierdo. La Regla del Rectángulo Izquierdo: Puede aproximar el área exacta bajo una curva entre a y b,

con la suma de los rectángulos izquierdos dada por la siguiente fórmula. En general, cuantos más rectángulos, mejor será la estimación.

Donde n es el número de rectángulos,

es el ancho de cada rectángulo, y los valores de las funciones son las alturas de los rectángulos.

Mire hacia atrás a los seis rectángulos mostrados en la segunda figura. El ancho de cada rectángulo es igual a la longitud del intervalo total de 0 a 3 (que por supuesto es de 3 a 0, o 3) dividido por el número de rectángulos, 6. Eso es lo que la directiva

en la fórmula.

Ahora, ¿qué hay de esas xs con los subíndices? La coordenada x del borde izquierdo del rectángulo 1 en la segunda figura se llama

el borde derecho del rectángulo 1 (que es el mismo que el borde izquierdo del rectángulo 2) está en

el borde derecho del rectángulo 2 está en

el borde derecho del rectángulo 3 está en

y así sucesivamente hasta el borde derecho del rectángulo 6, que está en

Para los seis rectángulos de la segunda figura,

Las alturas de los seis rectángulos izquierdos en la segunda figura ocurren en sus bordes izquierdos, que están a 0, 0.5, 1, 1.5, 2, y 2.5 – eso es

No se usa el borde derecho del último rectángulo,

en una suma a la izquierda. Es por eso que la lista de valores de función en la fórmula se detiene en

He aquí cómo usar la fórmula para los seis rectángulos de la segunda figura:

Así que el área bajo la curva es 9.875.

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