Cómo aproximar el área con rectángulos rectos

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Puede aproximar el área bajo una curva sumando rectángulos «rectos». Este método funciona igual que el método de la suma izquierda, excepto que cada rectángulo se dibuja de manera que su esquina superior derecha toque la curva en lugar de su esquina superior izquierda.

Por ejemplo, así es como usted estimaría el área bajo

de 0 a 3 utilizando tres rectángulos rectangulares. Véase la figura a continuación.

Las alturas de los tres rectángulos vienen dadas por los valores de las funciones en sus bordes derechos: f(1) = 2, f(2) = 5, y f(3) = 10. Cada rectángulo tiene un ancho de 1, por lo que las áreas son 2, 5 y 10, que suman un total de 17. Esta aproximación le da una sobreestimación del área real bajo la curva.

Cuantos más rectángulos cree entre 0 y 3, más precisa será su estimación. Aquí está la fórmula.

Regla de rectángulo recto: Puede aproximar el área exacta bajo una curva entre a y b,

con una suma de rectángulos rectos dada por esta fórmula:

Donde, n es el número de rectángulos,

es el ancho de cada rectángulo, y los valores de las funciones son las alturas de los rectángulos.

Ahora, si comparas esta fórmula con la de la suma del rectángulo izquierdo,

tienes la imagen completa de esos subíndices. Las dos fórmulas son las mismas excepto por una cosa. Observe las sumas de los valores de las funciones en ambas fórmulas. La fórmula de la suma correcta tiene un valor,

que la fórmula de suma izquierda no tiene, y la fórmula de suma izquierda tiene un valor,

que la fórmula de la suma correcta no tiene. Todos los valores de función entre ambos aparecen en ambas fórmulas. Usted puede obtener un mejor manejo de esto comparando los tres rectángulos rectos de la figura de arriba con los tres rectángulos izquierdos de la figura de abajo.

Como viste arriba, los tres rectángulos rectangulares se suman: 2 + 5 + 10 = 17

Y los tres rectángulos izquierdos suman: 1 + 2 + 5 = 8

Las sumas de las áreas son las mismas excepto para el rectángulo derecho y el rectángulo izquierdo. Ambas sumas incluyen los rectángulos con las áreas 2 y 5. Si miras cómo se construyen los rectángulos, puedes ver que el segundo y tercer rectángulo de la segunda figura son los mismos que el primero y el segundo rectángulo de la primera figura.

Una última cosa. La diferencia entre el área total del rectángulo derecho (17) y el área total del rectángulo izquierdo (8) – es decir, 17 menos 8, o 9, en caso de que te guste el cálculo pero aún no tengas la cosa básica de la resta – proviene de la diferencia entre las áreas de los dos rectángulos «finales» que acabamos de discutir (10 menos 1 es también 9). Todos los otros rectángulos son un lavado, no importa cuántos rectángulos tengas. Para este ejemplo en particular, debido a que la curva está aumentando, una suma de rectángulo izquierdo siempre será una subestimación y una suma de rectángulo recto siempre será una sobreestimación sin importar cuántos rectángulos se usen para la estimación. Y finalmente, a medida que se usan más y más rectángulos y que los rectángulos se hacen más y más delgados, la diferencia entre las estimaciones del rectángulo izquierdo y del rectángulo recto se hace cada vez más pequeña – y ambas estimaciones se acercan al área verdadera y exacta debajo de la curva.

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