Cómo racionalizar un radical fuera de un denominador

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Por Yang Kuang, Elleyne Kase

Una convención de las matemáticas es que no se deja a los radicales en el denominador de una expresión cuando se escribe en su forma final. Así hacemos algo llamado racionalizar el denominador. Esta convención hace que la recopilación de términos similares sea fácil, y sus respuestas serán verdaderamente simplificadas.

Un numerador puede contener un radical, pero el denominador no. La expresión final puede parecer más complicada en su forma racional, pero eso es lo que tienes que hacer a veces.

Hay dos situaciones separadas en las que los radicales pueden aparecer en el denominador de una fracción: cuando las expresiones contienen un radical en el denominador, y cuando las expresiones contienen dos términos en el denominador, al menos uno de los cuales es un radical.

Racionalización con un radical en el denominador

Racionalizar las expresiones con un radical en el denominador es fácil. Por ejemplo, con una raíz cuadrada, sólo necesita deshacerse de la raíz cuadrada. Normalmente, la mejor manera de hacerlo en una ecuación es cuadrar ambos lados. Por ejemplo,

Sin embargo, no puedes caer en la trampa de racionalizar una fracción cuadrando el numerador y el denominador. Por ejemplo, cuadrar la parte superior e inferior de

En su lugar, siga estos pasos:

  1. Multiplica el numerador y el denominador por la misma raíz cuadrada, lo que sea que multipliques por la parte inferior de una fracción, debes multiplicar por la parte superior; de esta manera, es como si multiplicaras por uno y no cambiaras la fracción. Esto es lo que parece:
  2. Multiplica las partes superiores y las inferiores y simplifica.

El proceso para racionalizar una raíz cúbica en el denominador es muy similar al de racionalizar una raíz cuadrada. Para deshacerse de una raíz cúbica en el denominador de una fracción, debe cortarla en cubos. Si el denominador es una raíz cúbica a la primera potencia, por ejemplo, multiplica tanto el numerador como el denominador por la raíz cúbica a la segunda potencia para obtener la raíz cúbica a la tercera potencia (en el denominador). Elevar una raíz cúbica a la tercera potencia cancela la raíz – ¡y ya está!

Racionalización cuando el denominador es un binomio con al menos un radical

Debes racionalizar el denominador de una fracción cuando contiene un binomio con un radical. Por ejemplo, mire las siguientes ecuaciones:

Deshacerse de los radicales en estos denominadores implica utilizar el conjugado de los denominadores. Un conjugado es un binomio formado al tomar lo opuesto del segundo término del binomio original. El conjugado de

El conjugado de x + 2 es x – 2; de manera similar, el conjugado de

Multiplicar un número por su conjugado es realmente el método FOIL disfrazado. Recuerde del álgebra que FOIL significa primero, afuera, adentro y al final.

Los dos términos del medio siempre se cancelan el uno al otro, y los radicales desaparecen. Para este problema, usted obtiene x2 – 2.

Eche un vistazo a un ejemplo típico que consiste en racionalizar un denominador utilizando el conjugado. Primero, simplifique esta expresión:

Para racionalizar este denominador, multiplicas la parte superior e inferior por el conjugado de éste, que es

El desglose paso a paso al hacer esta multiplicación es el siguiente

He aquí un segundo ejemplo: Suponga que necesita simplificar el siguiente problema:

Siga estos pasos:

  1. Multiplica por el conjugado.
  2. Multiplica los numeradores y denominadores.FOIL la parte superior e inferior. (¡Tramposo!) Así es como se hace:
  3. Tanto el numerador como el denominador simplifican el primer paso, que se convierte enThis expression simplifica aún más porque el denominador se divide en cada término en el numerador, lo que te da

Simplifique cualquier radical en su respuesta final – siempre. Por ejemplo, para simplificar una raíz cuadrada, busque factores de raíz cuadrada perfectos:

Además, puedes sumar y restar sólo los radicales que son términos similares. Esto significa que el número dentro del radical y el índice (que es lo que te dice si es una raíz cuadrada, una raíz cúbica, una cuarta raíz, o lo que sea) son lo mismo.

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