Cómo realizar operaciones con números complejos

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Por Yang Kuang, Elleyne Kase

A veces te encuentras con situaciones en las que necesitas operar con números reales e imaginarios juntos, así que quieres escribir ambos números como números complejos para poder sumarlos, restarlos, multiplicarlos o dividirlos.

Considere los siguientes tres tipos de números complejos:

  • Un número real como un número complejo: 3 + 0iNota que la parte imaginaria de la expresión es 0.
  • Un número imaginario como un número complejo: 0 + 2iNotice que la parte real de la expresión es 0.
  • Un número complejo con una parte real y otra imaginaria: 1 + 4iEste número no puede describirse como sólo real o sólo imaginario – de ahí el término complejo.

Se pueden manipular aritméticamente números complejos como números reales para realizar operaciones. Sólo tienes que tener cuidado de mantener las cosas claras. No puedes combinar partes reales con partes imaginarias usando sumas o restas, porque no son como los términos, así que tienes que mantenerlas separadas. También, al multiplicar números complejos, el producto de dos números imaginarios es un número real; el producto de un número real y uno imaginario es todavía imaginario; y el producto de dos números reales es real. Mucha gente se confunde con este tema.

La siguiente lista presenta las posibles operaciones que implican números complejos.

  • Sumar y restar números complejos: Simplemente combina términos similares. Por ejemplo, (3 – 2i) – (2 – 6i) = 3 – 2i – 2 + 6i = 1 + 4i.
  • Para multiplicar cuando se trata de un número complejo, utilice uno de tres métodos diferentes, basados en la situación: Multiplicar un número complejo por un número real: Simplemente distribuya el número real tanto a la parte real como a la parte imaginaria del número complejo. Por ejemplo, así es como se maneja un escalar (una constante) multiplicando un número complejo entre paréntesis: 2(3 + 2i) = 6 + 4i. Multiplicar un número complejo por un número imaginario: Primero, date cuenta de que la parte real del número complejo se vuelve imaginaria y que la parte imaginaria se vuelve real. Cuando expresas tu respuesta final, sin embargo, sigues expresando la parte real seguida de la parte imaginaria, en la forma A + Bi. Por ejemplo, así es como 2i se multiplica en el mismo número paréntesis: 2i(3 + 2i) = 6i + 4i2. Nota: Usted define i como para que i2 = -1! Por lo tanto, realmente tienes 6i + 4(-1), así que tu respuesta es -4 + 6i.multiplicar dos números complejos: Simplemente siga el proceso de FOIL (Primero, Exterior, Interior, Último). Por ejemplo, (3 – 2i)(9 + 4i) = 27 + 12i – 18i – 8i2, que es lo mismo que 27 – 6i – 8(-1), o 35 – 6i.
  • Para dividir números complejos: Multiplica tanto el numerador como el denominador por el conjugado del denominador, Enmendar el numerador y el denominador por separado, y luego combinar términos similares. Este proceso es necesario porque la parte imaginaria en el denominador es realmente una raíz cuadrada (de -1, ¿recuerdas?), y el denominador de la fracción no debe contener una parte imaginaria.

Por ejemplo, digamos que se le pide que divida

El conjugado complejo de 3 – 4i es 3 + 4i. Siga estos pasos para terminar el problema:

  1. Multiplica el numerador y el denominador por el conjugado.
  2. Usted va con (1 + 2i)(3 + 4i) = 3 + 4i + 6i + 8i2, que se simplifica a (3 – 8) + (4i + 6i), o -5 + 10i.
  3. Usted tiene (3 – 4i)(3 + 4i), el cual FALLA a 9 + 12i – 12i – 12i – 16i2. Debido a que i2 = -1 y 12i – 12i = 0, te quedas con el número real 9 + 16 = 25 en el denominador (que es por lo que multiplicas por 3 + 4i en primer lugar).
  4. Reescribe el numerador y el denominador, pero esta respuesta aún no está en la forma correcta para un número complejo.
  5. Separar y dividir ambas partes por el denominador constante.

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