Cómo reconocer secuencias aritméticas recursivas

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Por Yang Kuang, Elleyne Kase

Una secuencia recursiva es una secuencia aritmética en la que cada término depende de los términos anteriores; la secuencia de Fibonacci es un ejemplo bien conocido. Cuando su profesor de pre-cálculo le pide que encuentre cualquier término en una secuencia recursiva, usted usa el término dado (por lo menos un término, usualmente el primero, es dado) y la fórmula dada que le permite encontrar los otros términos en la secuencia.

Puede reconocer secuencias recursivas porque la fórmula dada típicamente tiene un (enésimo término de la secuencia) así como un – 1 (el término antes del enésimo término de la secuencia). En estas secuencias, se le da una fórmula (una diferente para cada secuencia), y las instrucciones le piden que encuentre los términos de la secuencia.

Por ejemplo, la secuencia recursiva más famosa es la secuencia de Fibonacci, en la que cada término después del segundo término se define como la suma de los dos términos anteriores. El primer término de esta secuencia es 1, y el segundo término es 1 también. La fórmula para la secuencia de Fibonacci es

Así que si se le pidiera que encontrara los siguientes tres términos de la secuencia, tendría que usar la fórmula de la siguiente manera:

a3 = a3 – 2+ a3 – 1 = a1+ a2 = 1 + 1 = 2

a4 = a4 – 2+ a4 – 1= a2 + a3 = 1 + 2 = 3

a5 = a5 – 2 + a5 – 1 = a3 + a4 = 2 + 3 = 5

Los primeros diez términos de esta secuencia son 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55. Es muy famoso porque muchas cosas en el mundo natural siguen el patrón de la secuencia de Fibonacci. Por ejemplo, los flósculos de la cabeza de un girasol forman dos espirales opuestas, 55 de ellas en el sentido de las agujas del reloj y 34 en el sentido contrario; los lirios y los lirios tienen 3 pétalos; las mariposas tienen 5 pétalos; y las caléndulas de maíz tienen 13 pétalos. También se ha observado que las semillas de coneflores y girasoles siguen el mismo patrón que la secuencia de Fibonacci. Los conos de pino y la coliflor también siguen este patrón.

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