Conceptos básicos de cómo adivinar y comprobar las raíces reales

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Por Yang Kuang, Elleyne Kase

Puede utilizar el teorema de la raíz racional para reducir la búsqueda de raíces de polinomios. Mientras que la regla de los signos de Descartes sólo reduce las raíces reales a positivas y negativas, el teorema de la raíz racional dice que algunas raíces reales son racionales (pueden ser expresadas como una fracción). También le ayuda a crear una lista de las posibles raíces racionales de cualquier polinomio.

¿El problema? No todas las raíces son racionales, porque algunas pueden ser irracionales. Un polinomio puede incluso tener sólo raíces irracionales. Pero este teorema es siempre el siguiente punto de partida en tu búsqueda de raíces; al menos te dará un punto de partida. Además, los problemas que se presentan en el pre-cálculo tienen por lo menos una raíz racional!

Siga estos pasos generales para asegurarse de que encuentra cada raíz:

  1. Utilice el teorema de la raíz racional para enumerar todas las raíces racionales posibles.
  2. Escoja una raíz de la lista en el Paso 1 y use división larga o división sintética para averiguar si es, de hecho, una raíz. (De lo contrario, siga probando raíces racionales más posibles, hasta que encuentre una – ¡o se le acaben las posibilidades!)
  3. Usando el polinomio deprimido (el que obtienes después de hacer la división sintética en el Paso 2), prueba la raíz que funcionó para ver si funciona de nuevo, si funciona, repite el Paso 3. Si no funciona, regresa al Paso 2 e intenta una raíz diferente de la lista en el Paso 1.
  4. Enumera todas las raíces que encuentres que funcionen. Ahora has encontrado todas las raíces racionales.

Nota: Si su polinomio deprimido restante es cuadrático, puede usar la fórmula cuadrática para encontrar las dos raíces restantes. Estas raíces serán irracionales o tendrán un componente imaginario.

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